Statistiek en ET

[Bonjour]

Ik heb gemerkt dat velen weinig statistiek kennis hebben. Wellicht aardig om eens wat uit te leggen.

1: Om met kansen te rekenen werken we niet met procenten. Er is gekozen om met waarden tussen 0 en 1. Dus het is niet 25% kans dat het morgen regent. De kans 0.25. Een kans 0 is dat het gebeurt, 1 dat het zeker gebeurt.

2: Stel een gebeurtenis heeft verschillende uitkomsten. bv het werpen met een dobbelsteen heeft 6 uitkomsten. Bij een goede dobbelsteen zijn de kansen per uitkomst gelijk. De kansen van alle uitkomsten bij elkaar is 1 (er is altijd een uitkomst), dus de kans op een 2 = 1/6

3: Wanneer we de kans willen weten van een uitkomst of een andere uitkomst bij 1 gebeurtenis, kunnen we de kansen optellen.. Dus de kans dat we een 2 of een 3 gooien = 1/6 + 1/6

4: Wanneer we de kans willen weten van 2 uitkomsten bij 2 verschillende gebeurtenissen, dan moeten we de kansen met elkaar vermenigvuldigen.
Dus de kans op eerst een 2 gooien en daarna een 3 is 1/6 * 1/6 = 1/36

Dit is de basis. Hierover vragen? Het lijkt me beter kleine stapjes te nemen. Gaan we later verder.

[fries77]

Ik heb gemerkt dat velen weinig statistiek kennis hebben. Wellicht aardig om eens wat uit te leggen.

1: Om met kansen te rekenen werken we niet met procenten. Er is gekozen om met waarden tussen 0 en 1. Dus het is niet 25% kans dat het morgen regent. De kans 0.25. Een kans 0 is dat het gebeurt, 1 dat het zeker gebeurt.

2: Stel een gebeurtenis heeft verschillende uitkomsten. bv het werpen met een dobbelsteen heeft 6 uitkomsten. Bij een goede dobbelsteen zijn de kansen per uitkomst gelijk. De kansen van alle uitkomsten bij elkaar is 1 (er is altijd een uitkomst), dus de kans op een 2 = 1/6

3: Wanneer we de kans willen weten van een uitkomst of een andere uitkomst bij 1 gebeurtenis, kunnen we de kansen optellen.. Dus de kans dat we een 2 of een 3 gooien = 1/6 + 1/6

4: Wanneer we de kans willen weten van 2 uitkomsten bij 2 verschillende gebeurtenissen, dan moeten we de kansen met elkaar vermenigvuldigen.
Dus de kans op eerst een 2 gooien en daarna een 3 is 1/6 * 1/6 = 1/36

Dit is de basis. Hierover vragen? Het lijkt me beter kleine stapjes te nemen. Gaan we later verder.

Je kunt Jerommel ook gewoon een PB sturen...

[Bonjour]

Nee, ik hoop dat je meeleest en ook wat opsteekt en nog wat anderen.

[Jerommel]

Hee, goed dat je dit topic opent.
Ik ga het even goed bekijken.

[Jerommel]

Sorry, nu pas gelezen.
Geen vragen.
Ga gerust verder.

[Bonjour]

ok

5: De totale kans van alle uitkomsten van een gebeurtenis is dus 1. Stel dat de kans op een uitkomst p is, dan is de kans dat p niet gebeurt dus 1 - p. Even uitgewerkt voor het gooien van een 6 geldt p = 1/6. Dus de kans dat we geen 6 gooien is 1 - p = 1 - 1/6 = 5/6.
Het lijkt een beetje open deur intrappen, maar liever een stapje teveel dan te weinig.

6: We gaan even rekenen hoe groot de kans is dat we in 6 keer een dobbelsteen gooien minimaal 1 keer een 6 gooien. We moeten hier niet de kansen optellen zoals ik bij 3: gedaan heb. Dan zou de kans 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1 zijn en gooien we altijd een 6 bij 6 keer een dobbelsteen gooien. Het is immers ook niet 1 gebeurtenis, we moeten dus kansen vermenigvuldigen. Om te bepalen welke kansen, moet het "minimaal 1 keer een 6 gooien" anders berekend worden. Laten we de kans eens berekenen van 6 keer geen 6 gooien. 1 keer geen 6 gooien is 5/6. Dus 6 keer geen 6 gooien is
5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 = 15625/46656 = 0.33.
Maar we willen niet de kans op 6 keer geen 6, maar minimaal 1 zes. De ene uitkomst sluit de andere uit. (of je hebt 6 keer geen 6 of je hebt minimaal 1 6) De kans op minimaal 1 6 is dus 1 - 0.33 = 0.67.
Dit is dus één van de oorzaken van het ergeren bij Mens Erger Je Niet. Het is beduidend minder dan 1. Het kan best lang duren voor je weer een 6 hebt en je een pion op het bord mag zetten.

Statistiek is dus zeker bij spelletjes van belang. Zo vond ik het ooit van belang om eens door te rekenen wat je kansen zijn als je met 20 legers een land met land met 20 legers aanvalt met Risk. Dan kom je erop uit dat je per keer dobbelstenen gooien 0.75 leger verliest, zowel aanvaller als verdediger, zolang de aanvaller met meer dan twee legers kan aanvallen en de verdediger meer dan 1 leger heeft.

[Christiaan]

Ik lees trouwens aandachtig mee.
Tot zover alles helder.

[Bonjour]

Dank je voor de feedback.
Dat verhaal van de 6 zessen was best lastig op te schrijven. Het is heel anders zo'n verhaal te vertellen, dan om uit te schrijven.

[Bonjour]

7: Laten we die 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 eens anders schrijven. Hier staat niets anders dan (5/6)^6. De '^' staat tot de macht. En die 5/6 was de resterende kans als onze gewenste uitkomst, een 6 gooien niet zo optreden. Dus ik schrijf die liever als (1-1/6). Dan wordt de formule (1-1/6)^6

Nu zijn er spelletjes winkels waar je dobbelstenen met een willekeurig aantal vlakken kan kopen. Stel dat ze dobbelstenen met elk willekeurig aantal vlakken hebben. En dan gaan we kijken als we daar meerdere keren mee gaan gooien. Met een dobbelsteen met 2 vlakken, gooien we 2 keer. met 3 vlakken 3 keer etc. En dan berekenen we steeds wat de kans is om een waarde niet te gooien.

Code: Selecteer alles

2 vlakken ( muntje)   : (1-0.5)^2    = 0.25
3 vlakken             : (1-0.33)^3   = 0.30
4 vlakken             : (1-0.25)^4   = 0.32
5 vlakken             : (1-0.2)^5    = 0.33
6 vlakken             : (1-1/6)^6    = 0.33
10 vlakken            : (1-1/10)^10  = 0.35
100 vlakken           : (1-1/100)^100= 0.36
1000 vlakken          : (1-1/1000)^1000=0.37
1.000.000             :                0.37
1 miljard             :                0.37

Als je dit rijtje afgaat valt dus op dat bij grote getallen er altijd ongeveer hetzelfde uitkomt. Dus met 6 keer gooien van een gewone dobbelsteen hebben 0.33 kans geen 6 te gooien. Met een dobbelsteen van een miljard vlakken hebben we 0.37 kans nooit op een bepaald vlak terecht te komen. De kleine kans wordt prima gecompenseerd door het vele gooien.

[Christiaan]

7: Laten we die 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 * 5/6 eens anders schrijven. Hier staat niets anders dan (5/6)^6. De '^' staat tot de macht. En die 5/6 was de resterende kans als onze gewenste uitkomst, een 6 gooien niet zo optreden. Dus ik schrijf die liever als (1-1/6). Dan wordt de formule (1-1/6)^6

Nu zijn er spelletjes winkels waar je dobbelstenen met een willekeurig aantal vlakken kan kopen. Stel dat ze dobbelstenen met elk willekeurig aantal vlakken hebben. En dan gaan we kijken als we daar meerdere keren mee gaan gooien. Met een dobbelsteen met 2 vlakken, gooien we 2 keer. met 3 vlakken 3 keer etc. En dan berekenen we steeds wat de kans is om een waarde niet te gooien.

Code: Selecteer alles

2 vlakken ( muntje)   : (1-0.5)^2    = 0.25
3 vlakken             : (1-0.33)^3   = 0.30
4 vlakken             : (1-0.25)^4   = 0.32
5 vlakken             : (1-0.2)^5    = 0.33
6 vlakken             : (1-1/6)^6    = 0.33
10 vlakken            : (1-1/10)^10  = 0.35
100 vlakken           : (1-1/100)^100= 0.36
1000 vlakken          : (1-1/1000)^1000=0.37
1.000.000             :                0.37
1 miljard             :                0.37

Als je dit rijtje afgaat valt dus op dat bij grote getallen er altijd ongeveer hetzelfde uitkomt. Dus met 6 keer gooien van een gewone dobbelsteen hebben 0.33 kans geen 6 te gooien. Met een dobbelsteen van een miljard vlakken hebben we 0.37 kans nooit op een bepaald vlak terecht te komen. De kleine kans wordt prima gecompenseerd door het vele gooien.

Waarbij je dus eigenlijk zo dicht mogelijk bij een soort "constante" komt (0,37metnogheelveelcijfertjes), doordat de deviatie van de kans steeds kleiner wordt.
Vat is dat zo goed samen?

[Bonjour]

Waar ik naartoe wil is dat je een gebeurtenis met een kleine kans toch waarschijnlijk kan krijgen door heel vaak die gebeurtenis te krijgen.
Een kans van 0,000000001 (1/miljard) heeft een redelijke kans als ie een miljard keer gebeurt. En dat geldt voor biljoen, biljard, triljoen.

Dus als een soort bij voortplanting een hele kleine kans heeft op een positieve mutatie bij voortplanting, de aantallen van de soort en de generaties van die soort er wel voor zorgen dat die positieve mutatie er komt. Als het aantal * generaties maar groot genoeg is tov de minieme kans. En dat is misschien wat tegen de verwachting, de intuïtie in. Als je zegt dat iets 0,000000001 kans heeft,dan verwacht je toch niet dat het gebeurt.

Intuïtie is heel gevaarlijk in de statistiek.
Het mooiste voorbeeld daarvan zijn de 3 deuren van de Willem Ruis show. Aan het eind van de show moet de winnaar 1 van 3 deuren kiezen en hopelijk kiest ie dan de deur waar de hoofdprijs achter ligt. Na de keuze begint Willem Ruis de winnaar aan het twijfelen te brengen. Hij helpt dan door te zeggen achter welke deur de prijs niet ligt, daarna mag de winnaar van deur wisselen of niet. Maakt dat verschil of niet?

Je kan daar lang over denken. In het begin zijn de kansen gelijk, maar is dat na uitsluiten van een deur nog zo? Hier laat je intuïtie je in de steek.

Stel eens op een tafel liggen duizend enveloppen, in 1 zit de hoofdprijs. Je kiest een envelop. Daarna worden 998 enveloppen van tafel gehaald waar de prijs niet in zit. Je mag nu kiezen of je eerste envelop houdt, of toch liever die andere pakt. Wat doe je dan? Je hebt een heel serieus probleem als je intuïtie dan niet zegt te switchen. Het 3 deuren probleem is hetzelfde, maar dan in het klein.

[Jerommel]

Ik ga dit binnenkort weer verder volgen, bonjour.

[fries77]

Waar ik naartoe wil is dat je een gebeurtenis met een kleine kans toch waarschijnlijk kan krijgen door heel vaak die gebeurtenis te krijgen.
Een kans van 0,000000001 (1/miljard) heeft een redelijke kans als ie een miljard keer gebeurt. En dat geldt voor biljoen, biljard, triljoen.

Dus als een soort bij voortplanting een hele kleine kans heeft op een positieve mutatie bij voortplanting, de aantallen van de soort en de generaties van die soort er wel voor zorgen dat die positieve mutatie er komt. Als het aantal * generaties maar groot genoeg is tov de minieme kans. En dat is misschien wat tegen de verwachting, de intuïtie in. Als je zegt dat iets 0,000000001 kans heeft,dan verwacht je toch niet dat het gebeurt.

Intuïtie is heel gevaarlijk in de statistiek.
Het mooiste voorbeeld daarvan zijn de 3 deuren van de Willem Ruis show. Aan het eind van de show moet de winnaar 1 van 3 deuren kiezen en hopelijk kiest ie dan de deur waar de hoofdprijs achter ligt. Na de keuze begint Willem Ruis de winnaar aan het twijfelen te brengen. Hij helpt dan door te zeggen achter welke deur de prijs niet ligt, daarna mag de winnaar van deur wisselen of niet. Maakt dat verschil of niet?

Je kan daar lang over denken. In het begin zijn de kansen gelijk, maar is dat na uitsluiten van een deur nog zo? Hier laat je intuïtie je in de steek.

Stel eens op een tafel liggen duizend enveloppen, in 1 zit de hoofdprijs. Je kiest een envelop. Daarna worden 998 enveloppen van tafel gehaald waar de prijs niet in zit. Je mag nu kiezen of je eerste envelop houdt, of toch liever die andere pakt. Wat doe je dan? Je hebt een heel serieus probleem als je intuïtie dan niet zegt te switchen. Het 3 deuren probleem is hetzelfde, maar dan in het klein.

Ja switchen natuurlijk.... de kans dat je zelf in eerste instantie de juiste had is 1 op 1000

[Christiaan]

Waar ik naartoe wil is dat je een gebeurtenis met een kleine kans toch waarschijnlijk kan krijgen door heel vaak die gebeurtenis te krijgen.
Een kans van 0,000000001 (1/miljard) heeft een redelijke kans als ie een miljard keer gebeurt. En dat geldt voor biljoen, biljard, triljoen.

Dus als een soort bij voortplanting een hele kleine kans heeft op een positieve mutatie bij voortplanting, de aantallen van de soort en de generaties van die soort er wel voor zorgen dat die positieve mutatie er komt. Als het aantal * generaties maar groot genoeg is tov de minieme kans. En dat is misschien wat tegen de verwachting, de intuïtie in. Als je zegt dat iets 0,000000001 kans heeft,dan verwacht je toch niet dat het gebeurt.

Intuïtie is heel gevaarlijk in de statistiek.
Het mooiste voorbeeld daarvan zijn de 3 deuren van de Willem Ruis show. Aan het eind van de show moet de winnaar 1 van 3 deuren kiezen en hopelijk kiest ie dan de deur waar de hoofdprijs achter ligt. Na de keuze begint Willem Ruis de winnaar aan het twijfelen te brengen. Hij helpt dan door te zeggen achter welke deur de prijs niet ligt, daarna mag de winnaar van deur wisselen of niet. Maakt dat verschil of niet?

Je kan daar lang over denken. In het begin zijn de kansen gelijk, maar is dat na uitsluiten van een deur nog zo? Hier laat je intuïtie je in de steek.

Stel eens op een tafel liggen duizend enveloppen, in 1 zit de hoofdprijs. Je kiest een envelop. Daarna worden 998 enveloppen van tafel gehaald waar de prijs niet in zit. Je mag nu kiezen of je eerste envelop houdt, of toch liever die andere pakt. Wat doe je dan? Je hebt een heel serieus probleem als je intuïtie dan niet zegt te switchen. Het 3 deuren probleem is hetzelfde, maar dan in het klein.

Juist, het 'Monty Hall Problem'. Die was mij ook bekend. Intuïtief blijf je bij de eerste keuze, maar als je het voorrekent is het duidelijk dat je de andere deur moet nemen. Jouw enveloppenvoorbeeld legt het intuïtief uit.